Definición de conjuntos
Un conjunto es una colección de objetos con alguna característica en común que se agrupan para construir un modelo. Los objetos que forman parte de un conjunto se llaman elementos. Los elementos de un conjunto son únicos y diferenciables entre sí.La rama de las matemáticas que estudia los conjuntos recibe el nombre de teoría de conjuntos. Su estudio es de gran importancia en varias ciencias y áreas de estudio entre las que podemos mencionar la estadística y la informática entre otras.
Notación y representación
Los conjuntos pueden representarse por extensión, por comprensión y en forma gráfica. Su nombre normalmente se indica con una letra mayúscula.Un conjunto se representa por extensión cuando se nombran uno a uno todos sus elementos. Se indica el nombre del conjunto, un símbolo igual “=” y la lista de sus elementos entre llaves y separados por una coma “,”.
Por ejemplo, los siguientes conjuntos están representados por extensión:
A = { 1, 2, 3, 4 }
B = { A, B, C }
Un conjunto se representa por comprensión cuando se detallan las características que permiten identificar a sus elementos. Para los conjuntos anteriores, una posible representación por comprensión es:
A = { Números naturales menores o iguales que cuatro }
B = { Primeras tres letras del abecedario }
Los conjuntos pueden representarse en forma gráfica mediante diagramas de Venn. Estos diagramas consisten en una línea curva cerrada conteniendo los elementos que pertenecen al conjunto.
Características de la representación de conjuntos
- No puede haber dos elementos con el mismo nombre en un conjunto.
- No importa el orden en el que nombremos a los elementos en un conjunto.
Pertenencia y no pertenencia
Los elementos que pertenecen a un conjunto se representan mediante el símbolo ∈. Por ejemplo, si queremos indicar que el número “1” pertenece al conjunto “A” entonces escribimos “1 ∈ A”.Los elementos que no pertenecen a un conjunto se representan mediante el símbolo ∉. Por ejemplo, si queremos indicar que el número “1” no pertenece al conjunto “B” entonces escribimos “1 ∉ B”.
Cardinal de un conjunto
Se denomina cardinal de un conjunto al número de elementos que este posee. El cardinal puede ser un número natural, cero o infinito. Se representa mediante el símbolo # seguido del nombre del conjunto. También puede representarse con el nombre del conjunto entre barras, o con la palabra card seguida del nombre del conjunto entre paréntesis. Por ejemplo para indicar que el conjunto “A” tiene cuatro elementos podemos escribir cualquiera de las siguientes expresiones:#A = 4
|A| = 4
card(A) = 4
Conjunto vacío
Un conjunto puede no contener ningún elemento. Para indicarlo se utiliza el símbolo Ø o se escriben las llaves sin elementos en su interior. Por ejemplo si queremos indicar que el conjunto “C” no contiene elementos podemos escribir:C = Ø
C = { }
Conjunto universal
Se denomina conjunto universal a un conjunto que contiene todos los elementos relacionados al tema del modelo. Normalmente se representa mediante la letra “U” (en mayúscula).Igualdad de conjuntos
Dos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos elementos. La igualdad se representa mediante el símbolo “=”. Si dos conjuntos no tienen exactamente los mismos elementos decimos que son distintos y esta relación la representamos por el símbolo ≠.Por ejemplo dados los conjuntos:
A = {1, 2, 3, 4}
B = {1, 2, 3 ,4}
C = {1, 2}
Podemos decir, por ejemplo, que:
A = B
A ≠ C
Inclusión y subconjuntos
Un conjunto puede estar incluido dentro de otro. En este caso se dice que es un subconjunto y se representa con el símbolo ⊆ o con el símbolo ⊂. El conjunto contenedor de otro se denomina superconjunto de este y esta relación se representa mediante el símbolo ⊇ o el símbolo ⊃.Por ejemplo, veamos los siguientes conjuntos.
A = {1, 2, 3, 4}
B = {1, 2}
Gráficamente los podemos representar de la siguiente manera:
Podemos decir que “B” está incluido en “A”. Esto se escribe como “B ⊆ A”. También podemos decir que “A” contiene a “B” y esto se simboliza como “A ⊇ B”.
Si un subconjunto tiene menos elementos que su contenedor se denomina subconjunto propio y en ese caso se utiliza el símbolo ⊊.
Notación de la inclusión de conjuntos
Existen varios símbolos para representar la inclusión de un conjunto dentro de otro.| ⊂ | Está incluido o está incluido pero no es igual (*). |
| ⊆ | Está incluido y puede ser igual. |
| ⊊ | Está incluido pero no es igual. |
| ⊃ | Contiene o contiene pero no es igual (*). |
| ⊇ | Contiene y puede ser igual. |
| ⊋ | Contiene y no es igual. |
Propiedades de la inclusión
- Todo subconjunto es subconjunto de sí mismo.
- Si “A” ⊆ “B” y “B” ⊆ “A”, entonces A = B.
- Si “C” ⊆ “B” y “B” ⊆ “A”, entonces “C” ⊆ “A”.
- Los elementos de un subconjunto también pertenecen al conjunto contenedor de este.
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